浮点数的存储

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发布时间：2019-05-10

本文共 4942 字，大约阅读时间需要 16 分钟。

二：浮点数的存储格式

2.1 IEEE floating point standard

上面我们说了，浮点数的小数点是不固定的，如果每个人都按照自己的爱好存储在电脑里，那不就乱套了吗？那么怎么在计算机中存储这种类型的数字呢？象这类古老的问题前人早都为我们做好了相应的规范，无规矩不成方圆吗。我们平时所说的浮点数的存储规范，就是由IEEE指定的，具体的规范文件是：IEEE Standard 754 for Binary Floating-Point Arithmetic。大家可以很容易的从网络上下载到这篇文档。

下面，偶就大致的描述一下，感兴趣的“同志”们可以阅读原文。

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在c语言中，单精度（float）数据类型为32bits，具体的如下图所示：

整个32bits分三部分，即

Sign：符号位，1 bit，0为正，1为负；

Exponent(bias)：指数部分，8 bits，存储格式为移码存储（后面还会说明），偏移量为127；

Mantissa(fraction)：尾数部分。

对应的双精度（double）类型的格式为：

同样，64位也被分为了三部分，对照单精度，不用我说就可以理解各个部分的含义了吧？

是不是有点迷糊了，不要怕，理论这个东西最能忽悠人了，看起来很高深，其实也就是个屁大的事，举个例子就很容易明白了。

举例说明，如3.24x10³，则对应的部分为，Sign为0，3为指数部分（注意计算机里面存储的不是3，这里仅仅为了说明），3.24为尾数。我们知道，计算机“笨”的要死，只认识0和1，那么到底一个浮点数值在计算机存储介质中是如何存储的呢？

例如，我们要想偷窥浮点类型的值4.25在计算机硬盘中存储的庐山真面目，请跟我来：首先把4.25转换成二进制的表达方式，即100.01，在详细点，变成1.0001x2²，好了，对号入座把。

Sign=0;

Exponent(bias)=2+127=129 （偏移量为127，就是直接加上个127了）；

Mantissa=1.0001-1.0=0001（规格化后，小数点前总是整数1，全世界人都知道前面是1不是0，所以省略不写了，即尾数部分不包括整数部分；当别人问你，为什么23 bit的尾数部分可以表示24位的精度，知道怎么回答了吧。靠，什么，没有看懂，再仔细读两便就知道了）。

对照上面的图示，相信你已经看明白了吧？相信你的智商。为了加深认识，再来一个。如果给定你一个二进制数字串，01000000100010000000000000000000，并告诉你这是一个float类型的值，让你说出它是老几，知道怎么算了吧？如果不知道，看下面的图，我就不废话解释了。

2．2深入理解浮点存储格式

为了更深入的理解浮点数的格式。我们使用C语言来做一件事。在C语言的世界里，强制类型转换，大家应该都很熟悉了。例如：

…

float f=4.6;

int i;

…

i = (int)(f+0.5); // i=5

下面我们不使用强制类型转化，我们自己来计算f转换成整形应该等于几？

把主要代码帖出来，如下：

//取23+1位的尾数部分

int ival= ((*(int *)(&fval)) & 0x07fffff) | 0x800000;

// 提取指数部分

int exponent = 150 - (((*(int *)(&fval)) >> 23) & 0xff);

if (exponent < 0)

ival = (ival<< -exponent);

else

ival = (ival >> exponent);

// 如果小于0，则将结果取反

if ((*(int *)&fval) & 0x80000000)

ival = -ival;

好好琢磨琢磨吧，看明白了，就说明你基本明白了浮点数的存储格式，如果没有看明白，接着看，知道明白为止。

我们来看看在计算机中是如何处理浮点数的。

■ 现实生活中的小数

数学中的小数，又称为实数。一般用十进制表示

例如： 3.14159265

■ 科学计算法

数学中的科学计算法许多种表示法

3.14159265 = 0.314159265 ×

10¹

■ 计算机中浮点数的表示

在计算机中的使用科学计数法是一种“规格化计数法”。

● 规格化计数法

用科学计数法表示实数时，如果最左边的第一个数字不是0，则被称为“规格化计数法”

0.1 × 10^-2不是规格化计数法

1.0 × 10^-3 则是规格化计数法

● IEEE 754 标准

IEEE 754 标准成立于1985年，80年代起所有的计算机系统均支持IEEE 754

IEEE 754 对浮点数在计算机表示方法有三个主要的规定：

对于单精度（single precision）：单精度浮点数位长：32位

（1） IEEE 754 标准规定：第1位为符号位，1 代表负，0代表正

（2）接下来用8位来表示指数部分。

（3）接下来的23位用来表示有效数位

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

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S 指数（8位）有效数位（23 位）

★ IEEE 754 考虑到利用现有的整数比较指充，对浮点数能进行快速的比较和排序，由于指数部分大小能快速反应出浮点数的大小，所以，在符号位接下来的8位用来表示指数，有效数位的大小反应出浮点数的精度。安排在最后的23位

★ 对于规格化二进制浮点示法而言，有效数位的第1位必定是1而不是0，因此，IEEE 754 规定：实际有效数位中的第1位被省去，因而，有效数位中默计含有1位。

★ 移码：除了将指数安排在有效数位前面，还不足以快速比较两个浮点数的大小，例如：

1.0 × 2 ^-1 在计算机中表示为：0 11111111 00000000000000000000000

这个数相当于整数的 0x7F800000

1.0 × 2 ¹ 在计算机中表示为：0 00000001 00000000000000000000000

这个数相当于整数的 0x00800000

如果用整数比较指令，比较两个数，1.0 × 2 ^-1竟然比 1.0 × 2 ¹还大！

为了解决这个问题，IEEE 754 设计了一个方案：将指数加上一个常数 127

这个常数 127 被称为“移码”（biased notation）

我们再来看一看：

1.0 × 2 ^-1 将指数： -1 + 127 = 126 后,得出以下的二进制数：

0 01111110 00000000000000000000 也就是: 0x3F000000

1.0 × 2 ¹ 将指数：1 + 127 = 128 后，得出以下的二进制数：

0 10000000 00000000000000000000 也就是：0x40000000

这样的话，就可以得出正确结果了。

对于双精度（double precision）浮点数来说：位长64 位

（1）IEEE 754 标准规定：第1位为符号位，1 代表负，0代表正。

（2）接下来用11位来表示指数部分。

（3）接下来的52位用来表示有效数位。

★ 双精度浮点数用52位来表示有效数位，11位表示指数位，这样提高浮点数的精度，也还提高了浮点数的取值范围。

★ 双精度的移码为 1023

例子：

1、将 -0.625 转化为计算机中的二进制数浮点数

解：

-0.625 = -5/8 = -5/2³ = -101 × 2^-3 = -1.01 × 2^-1

符号位：1

指数位：-1 + 127 = 126

有效数位：1.01（在机器中要相应去掉默认位）

所以，在机器表示的二进制序列为：1 01111110 0100000000000000000000

相当于整数：0xBF200000

2、将如下二进制序列用十进制浮点数表示。

11000000101000000000000000000000

解：

符号位：1 是负数

指数位；10000001 = 129，这个数要减去移码值，即：129 – 127 = 2

有效数位：01000000000000000000000 这个数要加上默认1，即得：1.01

整个序列结果为：- 1.01 × 2²= -101 = -5.0

常用的浮点数存储格式

2010-03-25 18:40:06| 分类： | 标签： |字号大中小

常用的浮点数存储格式：32-bit IEEE-754 floating-point format

由于经常用到，故写下来备查

对于大小为32-bit的浮点数（32-bit为单精度，64-bit浮点数为双精度，80-bit为扩展精度浮点数），

1、其第31 bit为符号位，为0则表示正数，反之为复数，其读数值用s表示；

2、第30～23 bit为幂数，其读数值用e表示；

3、第22～0 bit共23 bit作为系数，视为二进制纯小数，假定该小数的十进制值为x；

十进制转浮点数的计算方法：则按照规定，十进制的值用浮点数表示为：

如果十进制为正，则s = 0，否则s = 1；将十进制数表示成二进制，然后将小数点向左移动，直到这个数变为1.x的形式即尾数，移动的个数即位指数。为了保证指数为正，将移动的个数都加上127，由于尾数的整数位始终为1，故舍去不做记忆。

对3.141592654来说，

1、正数，s = 0；

2、3.141592654的二进制形式为正数部分计算方法是除以二取整，即得11，小数部分的计算方法是乘以二取其整数，得0.0010 0100 0011 1111 0110 1010 1000，那么它的二进制数表示为11.0010 0100 0011 1111 0110 1010 1；

3、将小数点向左移一位，那么它就变为1.1001 0010 0001 1111 1011 0101 01，所以指数为1+127=128，e = 128 = 1000 0000；

4、舍掉尾数的整数部分1，尾数写成0.1001 0010 0001 1111 1011 0101 01，x = 921FB6

5、最后它的浮点是表示为0 1000 0000 1001 0010 0001 1111 1011 0101 = 40490FDA

浮点数转十进制的计算方法：

则按照规定，浮点数的值用十进制表示为：

＝ (-1)^s * (1 + x) * 2^(e - 127)

对于49E48E68来说，

1、其第31 bit为0，即s = 0

2、第30～23 bit依次为100 1001 1，读成十进制就是147，即e = 147。

3、第22～0 bit依次为110 0100 1000 1110 0110 1000，也就是二进制的纯小数0.110 0100 1000 1110 0110 1000，其十进制形式为(0.110 0100 1000 1110 0110 1000 * 2^23) / (2^23) = (0x49E48E68 & 0x007FFFFF) / (2^23) = (0x648E68) / (2^23) = 0.78559589385986328125，即x = 0.78559589385986328125。

这样，该浮点数的十进制表示

=　(-1)^s * (1 + x) * 2^(e - 127)

=　(-1)^0 * (1+ 0.78559589385986328125) * 2^(147-127)

= 1872333

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